چرا هشت ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد

9853 بازدید آخرین به روز رسانی: 24 اردیبهشت 1402 زمان مطالعه: 11 دقیقه

مرکز تقارن نقطه ای است که اگر از یکی از نقاط شکل به آن خط بکشیم (خط 1) و سپس خط دیگری را از آن نقطه به نقطه مقابل در شکل (خط 2) ادامه دهیم، هر دو خط خواهند داشت. همان اندازه. به عبارت دیگر برای هر نقطه در شکل، نقطه ای در سمت دیگر مرکز تقارن وجود خواهد داشت که به همان اندازه از مرکز تقارن فاصله دارد. مرکز تقارن برای اشکال با تقارن مرکزی تعریف می شود. درک مفاهیم مربوط به تقارن مرکزی و مرکز تقارن مستلزم ترسیم اشکال هندسی و توضیحات است. به همین منظور در این مقاله مرکز تقارن و تعاریف مربوط به آن را در اشکال و تصاویر مختلف هندسی ارائه می کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

تقارن چیست؟

“تقارن” یکی از مفاهیم جذاب در هندسه است که تعادل قسمت های مختلف یک شکل را نسبت به یک نقطه یا یک خط نشان می دهد. برای درک مفهوم تقارن در هندسه، تصویر زیر را در نظر بگیرید. در این تصویر او دو شکل متفاوت را نشان می دهد. هر شکل با یک خط به دو قسمت تقسیم می شود.

به خط‌چین شکل سمت راست، محور تقارن می‌گویند.

خط کش در شکل سمت راست آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. اگر این شکل را از روی خط کش تا کنیم، دو قسمت دقیقا روی هم می افتند. به این ویژگی تقارن و شکل دارای این ویژگی را شکل متقارن می گوییم شکل سمت چپ ویژگی های ذکر شده را ندارد. بنابراین این شکل یک شکل نامتقارن محسوب می شود.

انواع تقارن چیست؟

تقارن در هندسه به سه نوع اصلی تقسیم می شود: انتقالی، محوری (بازتابی) و چرخشی. در برخی موارد، اشکال ترکیبی از این نوع تقارن ها هستند. تصویر زیر انواع تقارن را نشان می دهد.

به ترتیب از راست به چپ؛ تقارن انتقالی، تقارن چرخشی و تقارن محوری

در تصویر ابتدای مقاله تقارن محوری و محور تقارن را به تفصیل بررسی کرده ایم. تقارن محوری شناخته شده ترین نوع تقارن است که به آن تقارن بازتابی نیز می گویند. با این حال، در این مقاله قصد داریم به تقارن دورانی و یکی از ویژگی های اصلی آن بپردازیم.

مطلب پیشنهادی:
تقارن محوری چیست؟ — به زبان ساده + مثال و فیلم آموزشی
شروع مطالعه

تقارن چرخشی چیست؟

«تقارن چرخشی» تقارنی است که با چرخش یک شکل به دور یک نقطه ثابت رخ می دهد. اشکال با تقارن چرخشی با چرخش با زوایای کمتر از 360 درجه به حالت اولیه خود باز می گردند. برای مثال یک مثلث متساوی الاضلاع را در نظر بگیرید.

اگر این مثلث را حول نقطه مرکزی آن بچرخانیم، پس از هر 120 درجه چرخش، شکل مثلث به حالت اولیه خود باز می گردد. در این حالت، مثلث متساوی الاضلاع دارای تقارن دورانی است. نقطه ای که مثلث به دور آن می چرخد ​​مرکز چرخش نامیده می شود. تقارن دورانی و مرکز چرخش مفاهیم ضروری برای درک مفهوم مرکز تقارن هستند.

مرکز تقارن چیست؟

در شکل های متقارن دورانی، یک نقطه مرکزی وجود دارد که شکل پس از مدتی به حالت اولیه خود باز می گردد. اگر فاصله هر نقطه تا مرکز برابر با فاصله نقطه مقابل آن تا مرکز باشد، نقطه مرکزی را «مرکز تقارن» می نامیم.

مرکز تقارن در یک هشت‌ضلعی منتظم

ویژگی فوق در شکل های دارای نقطه تقارن «تقارن مرکزی» یا «بازتاب نقطه» نامیده می شود. وجود مرکز تقارن به ترتیب تقارن دورانی بستگی دارد. برای مثال مربع زیر را در نظر بگیرید.

با توجه به انیمیشن بالا، مربع چهار بار با چرخش به دور نقطه مرکزی همپوشانی دارد. بنابراین، گفته می شود که مربع دارای تقارن چرخشی مرتبه چهار است. بر خلاف مثلث متساوی الاضلاع، مربع علاوه بر تقارن چرخشی دارای مرکز تقارن است. به طور کلی، اگر ترتیب تقارن دورانی زوج باشد، مرکز شکل نیز مرکز تقارن محسوب می شود; در غیر این صورت، شکل مرکز تقارن ندارد.

تعریف مرکز تقارن در ریاضی پایه هشتم

طبق کتاب ریاضی هشتم، اگر شکلی را حول یک نقطه 180 درجه بچرخانیم و شکل به حالت اولیه خود برگردد، آن نقطه را مرکز تقارن می نامیم.

مثال 1: بررسی وجود تقارن مرکزی و مرکز تقارن در مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الاضلاع زیر را در نظر بگیرید. نقطه قرمز نشان دهنده مرکز این شکل است. آیا این شکل یک تقارن مرکزی و یک مرکز تقارن دارد؟

اگر مثلث متساوی الاضلاع بالا را به دور مرکز چرخش آن 180 درجه بچرخانیم، شکل زیر به دست می آید. منطقه مثلث بعد از دوران را با رنگ مشکی مشخص کردیم.

همانطور که می بینید، پس از چرخش 180 درجه ای مثلث متساوی الاضلاع به دور مرکز چرخش، شکل آن با خودش مطابقت ندارد. بنابراین، مثلث متساوی الاضلاع هیچ تقارن مرکزی یا مرکز تقارن ندارد.

تفاوت بین محور تقارن و مرکز تقارن چیست؟

محور تقارن خطی است که یک شکل را به دو قسمت مساوی و متقارن تقسیم می کند. به گونه ای که با تا زدن شکل، دو قسمت کاملا روی هم قرار می گیرند. به عنوان مثال، در تصویر زیر، قطر مستطیل، محور تقارن آن نیست. اگر عمود بر طول مستطیل را نصف کند دقیقاً مشخصات محور تقارن را دارد.

محور تقارن به عنوان یک آینه عمل می کند و قطعه ای که در یک طرف قرار می گیرد در سمت دیگر منعکس می شود. مرکز تقارن نیز به عنوان یک آینه عمل می کند. با این تفاوت که این مرکز هر نقطه از شکل را به پهلو منعکس می کند. حرف انگلیسی S است شکل این حرف هیچ محور تقارن ندارد.

اگر حرف S را 180 درجه دوران دهیم، شکل آن به حالت اولیه بازمی‌گردد. بنابراین این شکل، تقارن چرخشی دارد.

اگر شکل بالا را روی هر خط دلخواه تا کنیم، قسمت های دو طرف خط با هم مطابقت ندارند.

بنابراین، شکل S هیچ تقارن محوری یا محور تقارن ندارد. اما فاصله هر نقطه از شکل تا مرکز آن شکل (نقطه قرمز) به اندازه فاصله نقطه مقابل تا مرکز است. بنابراین شکل S یک تقارن مرکزی و یک مرکز تقارن دارد. تمام اشکال با تقارن چرخشی 180 درجه دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن هستند.

مرکز تقارن به اشکال مختلف

در این قسمت به بررسی وجود یا عدم وجود مرکز تقارن در اشکال هندسی مختلف مانند چندضلعی های منتظم، چهارضلعی، دایره ها، بیضی ها و اشکال نامنظم می پردازیم.

مرکز تقارن در چند ضلعی های منتظم

چند ضلعی های منتظم به دلیل اضلاع برابر و زوایای داخلی برابر، تقارن محوری و چرخشی دارند. البته داشتن تقارن مرکزی و مرکز تقارن در این چند ضلعی ها به تعداد اضلاع آنها بستگی دارد. تصویر زیر یک پنج ضلعی منظم و یک شش ضلعی منتظم را با مرکز چرخش آنها نشان می دهد.

شش‌ضلعی و پنج‌ضلعی منتظم با مرکز دوران

اگر چند ضلعی های فوق را 180 درجه به دور مرکز چرخش آنها بچرخانیم اعداد زیر بدست می آید.

وضعیت پیش و پس از دوران 180 درجه‌ای شش‌ضلعی و پنج‌ضلعی منتظم

همانطور که می بینید، موقعیت شش ضلعی منظم پس از چرخش 180 درجه تغییر نمی کند. در مقابل، یک پنج ضلعی منظم پس از چرخش 180 درجه با هم همپوشانی ندارد. بنابراین مرکز چرخش شش ضلعی منتظم مرکز تقارن آن نیز می باشد و این شکل دارای تقارن مرکزی است. این در مورد پنج ضلعی های معمولی صدق نمی کند.

مثال 2: بررسی وجود تقارن مرکزی در هفت ضلعی و هشت ضلعی منتظم

هپتوگونی و هشت ضلعی منظم زیر را با مرکز چرخش (نقاط قرمز) در نظر بگیرید. آیا این نقاط مرکز تقارن این چندضلعی ها هستند؟ از این مثال و چند ضلعی های بررسی شده در بخش های قبل چه نتیجه ای می توان گرفت؟

برای تأیید وجود مرکز تقارن در شکل های بالا، آنها را به اندازه 180 درجه به دور مرکز چرخش می چرخانیم. با این کار شکل زیر بدست می آید.

در یک هفت ضلعی منظم، شکل پس از چرخش 180 درجه با هم همپوشانی ندارد. بنابراین مرکز چرخش آن مرکز تقارن نیست. از سوی دیگر، پس از 180 چرخش هشت ضلعی منتظم، شکل بر روی خود قرار می گیرد. بر این اساس یک هشت ضلعی منتظم دارای تقارن مرکزی است و مرکز چرخش آن نیز مرکز تقارن در نظر گرفته می شود. خلاصه نتایج این مثال و چند ضلعی هایی که در بخش قبل به آنها نگاه کردیم عبارتند از:

مثلث متساوی الاضلاع (مثلث منتظم) مرکز تقارن ندارد.

مربع (چهارضلعی منتظم) دارای مرکز تقارن است.

یک پنج ضلعی منظم مرکز تقارن ندارد.

یک شش ضلعی منظم مرکز تقارن دارد.

یک هفت ضلعی منتظم مرکز تقارن ندارد.

یک هشت ضلعی منظم دارای مرکز تقارن است.

از جملات بالا می توان نتیجه گرفت که چند ضلعی های منتظم دارای یک مرکز تقارن و یک تقارن مرکزی هستند. اگر چند ضلعی های منتظم مرکز تقارن و تقارن مرکزی نداشته باشند.

یافتن مرکز تقارن چند ضلعی های منتظم

در چند ضلعی های منتظم، تقارن مرکزی و مرکز تقارن تنها در صورتی وجود خواهد داشت که تعداد اضلاع زوج باشد. برای یافتن این نقطه در چند ضلعی های منظم، می توانیم تمام رئوس مقابل و نقاط میانی همه اضلاع مقابل را به هم وصل کنیم. به این ترتیب پاره خط هایی ایجاد می شود که در یک نقطه مشترک قطع می شوند. این نقطه تقاطع مرکز تقارن یک چندضلعی منتظم است.

نقطه تلاقی خطوط ترسیم شده در چهار ضلعی منظم، شش ضلعی، هشت ضلعی و ده ضلعی مرکز تقارن آنهاست. البته باید به این نکته نیز اشاره کنیم که این خطوط، محور تقارن چندضلعی های مذکور نیز محسوب می شوند. به عبارت دیگر مرکز تقارن چندضلعی های منتظم در محل تلاقی محورهای تقارن آنها قرار دارد.

مرکز تقارن چهار ضلعی های نامنظم

وجود مرکز تقارن در چهارضلعی های نامنظم مانند مربع، مستطیل، لوزی، ذوزنقه به وجود یا عدم وجود تقارن دورانی مرتبه دوم در این اشکال بستگی دارد. بیشتر چند ضلعی های نامنظم هیچ تقارن مرکزی یا مرکز تقارن ندارند. متوازی الاضلاع چهار ضلعی با اضلاع موازی است. تصویر زیر شکل این چند ضلعی نامنظم را نشان می دهد.

بیایید قطرهای متوازی الاضلاع را رسم کنیم، آنها در مرکز تقارن این شکل تلاقی می کنند. در تصویر بالا نقطه قرمز محل تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع و مرکز تقارن این شکل را نشان می دهد. یکی از روش های بررسی صحت موقعیت مرکز تقارن اندازه گیری فاصله بین نقاط شکل و مرکز و مقایسه اندازه به دست آمده با فاصله مرکز و نقاط مقابل است. مثلاً در متوازی الاضلاع، اگر فاصله یک راس تا مرکز تقارن و فاصله مرکز تقارن تا راس مقابل را اندازه گیری کنیم، اندازه گیری مساوی به دست می آید.

مرکز تقارن لوزی، مستطیل و مربع

علاوه بر متوازی الاضلاع، سایر اشکال هندسی مانند لوزی، مستطیل و مربع نیز دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن هستند. همه این اشکال موارد خاصی از متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شوند:

مستطیل متوازی الاضلاع با زوایای داخلی 90 درجه است.

لوزی متوازی الاضلاع با اضلاع مساوی است.

مربع متوازی الاضلاع با زوایای داخلی 90 درجه و اضلاع برابر است. این شکل یکی از اشکال مستطیل و لوزی است.

به این ترتیب سه شکل الماس، مستطیل و مربع دارای یک تقارن مرکزی و یک مرکز تقارن هستند. محل مرکز تقارن این اشکال، مانند متوازی الاضلاع، با رسم قطرها و تعیین محل برخورد آنها مشخص می شود.

مرکز تقارن لوزی، مستطیل و لوزی، بر روی تقاطع قطرهای آن‌ها منطبق است.

مرکز تقارن کایت

از دیگر چهارضلعی های شناخته شده در دنیای هندسه می توان به بادبادک ها و ذوزنقه ها اشاره کرد. بادبادک شکلی شبیه به لوزی است. با این تفاوت که در این شکل همه اضلاع برابر نیستند. بادبادک تقارن مرکزی و مرکز تقارن ندارد و فقط تقارن محوری دارد.

در کایت یا شبه‌لوزی، ضلع‌های بالایی باهم و ضلع‌های پایینی باهم برابرند.

مرکز تقارن ذوزنقه

ذوزنقه چهار ضلعی است که دو ضلع موازی (دو پایه) و دو ضلع غیر موازی (دو پایه) دارد. این شکل به انواع مختلف اضلاع، متساوی الساقین و زوایای قائمه تقسیم می شود. هیچ یک از انواع ذوزنقه ها دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن نیستند. البته ذوزنقه متساوی الساقین دارای تقارن محوری و محور تقارن است.

به ترتیب از راست به چپ: ذوزنقه متساوی‌الساقین، مختلف‌الاضلاع و قائم‌الزاویه

مرکز تقارن اشکال ستاره

اشکال ستاره انواع چند ضلعی های مقعر هستند که اضلاع مساوی دارند. وجود یا عدم وجود تقارن مرکزی و مرکز تقارن در ستارگان به تعداد رئوس آنها بستگی دارد. ستارگان با راس یکنواخت دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن هستند. این ویژگی در مورد ستاره های دارای نقطه فرد اعمال نمی شود. به عنوان مثال، ستاره های چهار و پنج پر زیر را در نظر بگیرید.

اگر شکل های بالا را 180 درجه دور مرکز آنها بچرخانیم حالت های زیر ظاهر می شود.

ستاره پنج پر پس از چرخش 180 درجه ای در یک راستا قرار نگرفت. از سوی دیگر، پس از یک چرخش 180 درجه ای، ستاره چهار پر دقیقاً روی خود قرار می گیرد. بنابراین در بین اشکال فوق ستاره چهار پر دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن است. محل مرکز تقارن ستاره چهار پر از اتصال رئوس مخالف نقاط به دست می آید. اگر هر رأس بیرونی را به راس خارجی مخالف وصل کنیم، پاره های خط در یک نقطه مشترک قطع می شوند.

به طور کلی، اگر تعداد پرها در شکل ستاره زوج باشد، شکل دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن خواهد بود. اگر تعداد پرهای ستاره ای شکل فرد باشد، تقارن مرکزی یا مرکز تقارن وجود نخواهد داشت.

مرکز تقارن دایره و بیضی

بیضی و دایره دو منحنی بسته شناخته شده در دنیای هندسه هستند. تقارن مرکزی و مرکز تقارن از ویژگی های خاص این اشکال است. اگر دایره و بیضی را به دور مرکز آنها 180 درجه بچرخانیم، شکل آنها به حالت اولیه باز می گردد. البته چرخش دایره با هر زاویه ای باعث تغییر شکل آن می شود. بنابراین،

مرکز تقارن یک بیضی و یک دایره مانند چند ضلعی های منظم و متوازی الاضلاع در محل تلاقی قطرها قرار دارد.

قطرهای بیضی و قطرهای دایره، همدیگر را در مرکز تقارن قطع می‌کنند.

مرکز تقارن دایره از تمام نقاط محیط دایره فاصله یکسانی دارد. این فاصله به عنوان شعاع دایره شناخته می شود.

مرکز تقارن اشکال نامنظم

در قسمت های قبل وجود یک تقارن مرکزی و یک مرکز تقارن را در اشکال هندسی مشخصی بررسی کردیم. اکثر این اشکال دارای ویژگی های خاصی از قبیل مساوی بودن اضلاع، موازی بودن اضلاع، مساوی بودن زاویه ها و … بودند. اشکال نامنظم به اشکالی گفته می شود که هیچ یک از این ویژگی ها را ندارند یا نظم خاصی در هندسه آنها وجود ندارد. اکثر این اشکال فاقد تقارن مرکزی و مرکز تقارن هستند. با این حال، اگر یک شکل نامنظم 180 درجه به دور یک نقطه بچرخد تا با موقعیت اصلی خود مطابقت داشته باشد، آن نقطه را مرکز تقارن در نظر می گیریم و شکل دارای تقارن مرکزی است. تصویر زیر نمونه ای از یک شکل نامنظم با تقارن مرکزی را نشان می دهد.

اگر شکل بالا 180 درجه حول نقطه تلاقی دو خط بچرخد، شکل به حالت اولیه خود باز می گردد. علاوه بر این، این شکل از ویژگی اصلی اشکال متقارن مرکزی نیز بهره می برد. برای هر نقطه در شکل یک نقطه مشابه در طرف مقابل وجود دارد که فاصله دو نقطه از مرکز شکل یکسان است. در تصویر بالا این ویژگی با خطوط نقطه چین با فلش نشان داده شده است.

سوالات متداول در مورد مرکز تقارن

در این بخش به چند سوال متداول در مورد مرکز تقارن به اختصار پاسخ می دهیم.

مرکز تقارن به چه معناست؟

اگر شکلی را به دور یک نقطه 180 درجه بچرخانیم و نتیجه چرخش با خودش منطبق باشد، می گوییم شکل مرکز تقارن دارد و نقطه مورد نظر مرکز تقارن شکل است.

آیا مثلث مرکز تقارن دارد؟

خیر هیچ یک از انواع مثلث مرکز تقارن ندارند.

آیا متوازی الاضلاع مرکز تقارن دارد؟

آره. متوازی الاضلاع دارای تقارن چرخشی دو مرتبه (تقارن مرکزی) و مرکز تقارن است.

آیا لوزی مرکز تقارن دارد؟

آره. لوزی متوازی الاضلاع است و مرکز تقارن دارد.

آیا ذوزنقه مرکز تقارن دارد؟

نه ذوزنقه نه تقارن چرخشی دارد و نه مرکز تقارن. فقط ذوزنقه متساوی الساقین دارای تقارن محوری است.

آیا دایره مرکزی تقارن دارد؟

آره. مرکز دایره مرکز تقارن آن است.

آیا بیضی مرکز تقارن دارد؟

آره. محل تلاقی محورهای اصلی و فرعی یک بیضی مرکز تقارن آن است.

چه شکلی مرکز تقارن دارد؟

چند ضلعی های منتظم یک طرفه، متوازی الاضلاع، لوزی ها، مستطیل ها، مربع ها، دایره ها، بیضی ها، حتی ستاره ها و هر شکل منظم یا نامنظمی که با چرخش 180 درجه به دور یک نقطه به موقعیت اصلی خود باز می گردد دارای مرکز تقارن هستند.

کدام شکل مرکز تقارن ندارد؟

در میان اشکال معروف با تقارن دورانی، مثلث متساوی الاضلاع مرکز تقارن ندارد. به طور کلی، ارقام با تقارن دورانی مرتبه فرد مرکز تقارن ندارند.

کدام حروف انگلیسی مرکز تقارن دارند؟

حروف X، S، O، N، I، H و Z دارای تقارن مرکزی هستند.

آیا اشکال متقارن دورانی مرکز تقارن دارند؟

شکل های متقارن دورانی دارای مرکز چرخش هستند. این اشکال همچنین می توانند مرکز تقارن داشته باشند. اگر آنها با یک چرخش 180 درجه در اطراف مرکز چرخش خود منطبق شوند، در موقعیت اولیه خود هستند.

تفاوت بین مرکز چرخش و مرکز تقارن چیست؟

برای ارقام با تقارن مرکزی (تقارن چرخشی 180 درجه) مرکز چرخش همان مرکز تقارن است. برای اشکال متقارن دورانی بدون تقارن مرکزی، فقط مرکز چرخش تعریف شده است و مرکز تقارن وجود ندارد.

آیا همه چند ضلعی های منتظم مرکز تقارن دارند؟

هیچ چندضلعی منتظم با تعداد ضلع زوج دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن نیست. اگر چند ضلعی های منتظم با تعداد اضلاع فرد فقط تقارن دورانی و مرکز چرخش داشته باشند.

منابع:

مجله فرادرس

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

۴۲۲۲ بازدید

آخرین به‌روزرسانی:
۹ اردیبهشت ۱۴۰۲

زمان مطالعه:
۴ دقیقه

محور تقارن یک چند ضلعی منتظم خطی است که این شکل هندسی را به دو نیمه مساوی تقسیم می کند. همه چند ضلعی های منتظم دارای یک محور تقارن برابر با اضلاع خود هستند. در این مقاله به تعاریف و نحوه رسم محور تقارن چندضلعی منتظم می پردازیم. علاوه بر این، مفاهیم مربوط به تقارن مرکزی و تقارن چرخشی چند ضلعی های منظم را نیز معرفی می کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

محور تقارن چیست؟

محور تقارن یا خط تقارن یک محور یا خط فرضی است که اشکال هندسی را به دو قسمت مساوی و متقارن تقسیم می کند. اگر یک شکل را حول یکی از محورهای تقارن آن خم کنیم، دو نیمه آن کاملاً همپوشانی خواهند داشت.

تصویر زیر تست خمش برای تشخیص محور تقارن یک مستطیل را نشان می دهد.

در حالت اول، با خم کردن مستطیل به دور قطر آن، دو نیمه آن روی هم نمی‌افتند. بنابراین، قطر مستطیل، محور تقارن آن نیست. در حالت دوم، دو قسمت کاملاً روی هم قرار می گیرند. بنابراین جهت خمش در این حالت یکی از محورهای تقارن مستطیل است. این نوع تقارن به عنوان تقارن محوری، تقارن بازتابی و تقارن آینه ای شناخته می شود.

چند ضلعی منتظم چیست و چند خط تقارن دارد؟

چند ضلعی منتظم چند ضلعی است که اضلاع و زوایای آن برابر باشند. همه چند ضلعی های منظم دارای تقارن محوری و چندین خط تقارن هستند.

تعداد محورهای تقارن این چند ضلعی ها از تعداد اضلاع آنها به دست می آید. به طور کلی، یک n-گون معمولی دارای n محور تقارن است.

محورهای تقارن سه‌ضلعی تا هشت‌ضلعی منتظم

محور تقارن چندضلعی منتظم چگونه رسم می شود؟

ترسیم محور تقارن چند ضلعی منتظم با توجه به زوج یا فرد بودن تعداد اضلاع آن انجام می شود.

محور تقارن چندضلعی منتظم با اضلاع فرد را رسم کنید

اگر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم فرد باشد، برای رسم هر محور تقارن کافی است یکی از رئوس را به مرکز ضلع مقابل این راس متصل کنیم. برای مثال، مثلث متساوی الاضلاع (مثلث منظم) را در زیر در نظر بگیرید.

برای ترسیم محورهای تقارن مثلث منتظم بالا ابتدا مرکز هر ضلع را مشخص می کنیم.

با اتصال هر رأس به مرکز ضلع مقابل خود، یکی از محورهای تقارن ایجاد می شود.

بر اساس محورهای ترسیم شده در تصویر بالا، مثلث متساوی الاضلاع دارای سه محور تقارن است. محورهای تقارن مثلث متساوی الاضلاع برابر با ارتفاع مثلث است.

محور تقارن چند ضلعی منتظم با اضلاع زوج را رسم کنید

اگر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم زوج باشد، محورهای تقارن به دو گروه تقسیم می شوند. گروه اول شامل محورهای متقارن است که با اتصال رئوس مخالف ترسیم می شوند. گروه دوم محورهای تقارن هستند که با اتصال مرکز اضلاع مخالف ترسیم می شوند. حال، تعداد محورهای تقارن در یک چندضلعی منتظم برابر است با تعداد اضلاع. به عنوان مثال، مربع (چهارضلعی منتظم) زیر را در نظر بگیرید.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

برای ترسیم محورهای تقارن مربع بالا، هر گوشه را به گوشه مقابلش وصل می کنیم.

به این ترتیب دو محور تقارن چهار ضلعی منظم به دست می آید. این محورهای تقارن همان قطرهای مربع است. می دانیم که یک n-گون منظم باید n محور تقارن داشته باشد. بنابراین یک چهارضلعی منتظم دارای چهار محور تقارن است که ما دو تای آنها را ترسیم کردیم. برای رسم دو محور تقارن زیر، مرکز هر ضلع را مشخص می کنیم.

دو محور تقارن دیگر از اتصال مرکز اضلاع مخالف به یکدیگر تشکیل می شود.

همانطور که می بینید، مربع چهار محور تقارن دارد. خطوط تقارن همه چند ضلعی های منتظم با استفاده از یکی از دو روش ارائه شده در این بخش ترسیم می شوند.

سوال : یک چندضلعی منتظم 6 محور تقارن دارد. این چند ضلعی چه نام دارد؟

پاسخ : تعداد محورهای تقارن چند ضلعی های منتظم برابر است با تعداد اضلاع آنها. بنابراین چند ضلعی مورد نظر یک شش ضلعی منتظم است.

مرکز تقارن چند ضلعی منتظم چیست؟

در اشکال هندسی، اگر فاصله هر نقطه تا مرکز شکل برابر با فاصله نقطه مقابل آن تا مرکز شکل باشد، می گوییم « شکل دارای تقارن مرکزی است». در این حالت نقطه مرکزی “ مرکز تقارن ” نامیده می شود.

برخی از چند ضلعی های منتظم دارای مرکز تقارن هستند. برای مثال فاصله هر نقطه از هشت ضلعی منتظم زیر تا مرکز شکل با فاصله نقطه مقابل تا مرکز شکل برابر است.

چند ضلعی منتظم چند مرکز تقارن دارد؟

تقارن مرکزی یک چند ضلعی منتظم به تعداد اضلاع آن بستگی دارد. اگر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم فرد باشد، مرکز تقارن وجود نخواهد داشت. اگر تعداد اضلاع زوج باشد، یک چند ضلعی منتظم مرکز تقارن خواهد داشت.

تقارن چرخشی یا تقارن چرخشی چندضلعی منتظم چیست؟

با چرخاندن یک چند ضلعی منظم، شکل آن از حالت اولیه تغییر نمی کند. این ویژگی را تقارن چرخشی می نامند. همه چند ضلعی های منظم دارای تقارن دورانی هستند. البته ترتیب تقارن دورانی چندضلعی های منتظم با یکدیگر متفاوت است.

همانطور که مثلث متساوی الاضلاع به دور مرکز خود می چرخد ​​(تصویر بالا)، شکل مثلث به حالت سه زاویه اولیه خود باز می گردد. بنابراین، این شکل دارای تقارن دورانی مرتبه سوم است. ترتیب تقارن دورانی یک چندضلعی منتظم برابر است با تعداد اضلاع آن.

محاسبه زاویه تقارن دورانی یک چندضلعی منتظم

در هر n چند ضلعی منتظم، زاویه تقارن دورانی از رابطه زیر محاسبه می شود:

$
frac { 360 ^ { circ } } {n}
$$

برای مثال، زاویه تقارن دورانی یک مربع برابر است با:

$
frac { 360 ^ { circ } } { 4 } = 90 ^ { circ }
$$

به عبارت دیگر، اگر مربع را 90 درجه به دور مرکزش بچرخانیم، شکل آن به حالت اولیه باز می گردد.

سوالات متداول در مورد محور تقارن چند ضلعی منتظم

در این بخش به برخی از متداول ترین سوالات در مورد محور تقارن چند ضلعی های منتظم به اختصار پاسخ می دهیم.

آیا همه چند ضلعی های منتظم دارای یک محور تقارن هستند؟

آره.

هر n چند ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

هر n چند ضلعی منتظم n محور تقارن دارد.

فرمول محور تقارن چندضلعی منتظم چیست؟

محور تقارن یک چندضلعی منتظم برابر با n است.

چند ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

تعداد خطوط تقارن یک چند ضلعی منتظم برابر است با تعداد اضلاع.

هر n چند ضلعی منتظم چند مرکز تقارن دارد؟

هر n چند ضلعی منتظم یک محور تقارن دارد اگر n زوج باشد و هیچ محور تقارن اگر n فرد باشد.

یک پنج ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

یک پنج ضلعی منظم دارای 5 محور تقارن است.

یک هفت ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

یک هفت ضلعی منظم دارای 7 محور تقارن است.

یک هشت ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

یک هشت ضلعی منظم دارای 8 محور تقارن است.

یک هشت ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

یک هشت ضلعی منظم دارای 9 محور تقارن است.

یک ده ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

یک ده ضلعی منظم دارای 10 محور تقارن است.

یک دوازده وجهی منظم چند خط تقارن دارد؟

دوازده وجهی منظم دارای 12 محور تقارن است.

یک شش ضلعی منتظم چند خط تقارن دارد؟

یک شش ضلعی منظم دارای 16 محور تقارن است.

نام دیگر محور تقارن مثلث متساوی الاضلاع چیست؟

محورهای تقارن یک مثلث متساوی الاضلاع، ارتفاع و میانه این چندضلعی منتظم.

نام دیگر محور تقارن چندضلعی منتظم چیست؟

محورهای تقارن چند ضلعی های منتظم قطرها و وسط اضلاع این شکل ها هستند.

نام دیگر محور تقارن چندضلعی منتظم چیست؟

محورهای تقارن چند ضلعی های منتظم فرد، نقاط میانی اضلاع این شکل هندسی هستند.

مطلبی که در بالا خواندید، بخشی از مجموعه آموزش انواع چند ضلعی – تعاریف و تمامی فرمول های محیط و مساحت است. در ادامه می توانید لیست این مطالب را مشاهده کنید:

منابع:

مجله فرادرس

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

جلوی آینه فقط می توانی نیمی از خودت را ببینی. آیا موافقید که به نظر می رسد آن را از وسط تا کرده اید؟ بله تقارن است! یکی از زیبایی های خلقت خداوند، فقط باید به طبیعت نگاه کرد و آن را یافت! در این درس از سری ریاضی پایه هشتم ابتدا با تعریف چندضلعی و همچنین چندضلعی منتظم آشنا می شویم و محور تقارن و مرکز تقارن را در شکل ها بررسی می کنیم.

چند ضلعی ها

چند ضلعی ها یکی از مهم ترین اشکال هندسی هستند. در حیاط های مختلف و همچنین در معماری ساختمان ها، کاشی کاری و … بسیار دیده می شوند. قبل از اینکه به موضوع محور تقارن بپردازیم، اجازه دهید تعاریف چندضلعی را مرور کنیم:

تعریف چندضلعی

به هر چندخط بسته که اضلاع آن (به جز در رأس آن) همدیگر را قطع نکنند، چندضلعی می گویند. به عنوان مثال، شکل های زیر چند ضلعی هستند. توجه داشته باشید که این خطوط شکسته فقط در راس ها (به رنگ سبز نشان داده شده است) قطع می شوند:

مثال 1: مشخص کنید کدام یک از اشکال زیر چند ضلعی با دلیل هستند؟

راه حل 1:

با توجه به تعریف، به یاد داشته باشید که شکل چند ضلعی دارای 3 شرط است:

خط شکسته؛

بسته باشد؛

خطوط آن قطع نمی شود (به جز در رئوس).

شکل (الف) دارای شرایط ذکر شده است، بنابراین چند ضلعی است. شکل (ب) چند ضلعی نیست، زیرا خطوط آن در وسط قطع می شوند (و این نقطه راس شکل نیست). شکل (ج) چند ضلعی نیست، زیرا بسته نیست. شکل (د) نیز چند ضلعی نیست، زیرا اگرچه بسته و بدون وقفه است، اما خط شکسته ای ندارد (منحنی است).

تعریف چندضلعی منتظم

چند ضلعی منتظم چند ضلعی است که تمام زوایای آن برابر و همه ضلع ها برابر باشند. به عنوان مثال، تعدادی چند ضلعی منظم را با هم می بینیم:

مثال 2: شکل های زیر را رسم کنید و مشخص کنید کدام یک چند ضلعی منتظم است.

الف) متوازی الاضلاع؛

ب) لوزی زاویه راست.

راه حل 2:

الف) متوازی الاضلاع مطابق شکل زیر رسم شده است. همانطور که در کتابچه راهنمای چهارضلعی ها توضیح داده شد، در متوازی الاضلاع اضلاع مقابل موازی و مساوی هستند، اما چهار ضلع و چهار زاویه برابر نیستند. بنابراین چهارضلعی منظم نخواهد بود.

ب) در لوزی هر چهار ضلع مساوی و اضلاع مقابل موازی هستند. اگر زوایای لوزی را قائم الزاویه در نظر بگیریم به مربع تبدیل می شود که دارای چهار ضلع مساوی و چهار زاویه (زاویه قائمه) است و چهار ضلعی منتظم خواهد بود.

محور تقارن چیست؟

خط تقارن (محور تقارن) خطی است که شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند و اگر شکل را روی آن تا کنیم، دو قسمت شکل دقیقاً روی هم قرار می گیرند.

همانطور که در هشت ضلعی بالا مشاهده می شود، خط قرمز محور تقارن است، زیرا خم شدن آن سمت راست را دقیقاً در سمت چپ قرار می دهد. برای تطبیق مطالب به مستطیل زیر توجه کنید. بیایید بررسی کنیم که کدام یک از خطوط قرمز و آبی محور تقارن مستطیل است:

مستطیل را روی این دو خط نقطه چین تا می کنیم، می بینیم که با خط نقطه آبی، نیمه بالایی دقیقاً روی نیمه پایینی قرار دارد، بنابراین خط نقطه آبی محور تقارن مستطیل است. اما با خم کردن مستطیل روی خط قرمز، دو طرف شکل روی هم قرار نمی‌گیرند، بنابراین خط قرمز نمی‌تواند یک خط تقارن باشد.

راه تشخیص محور تقارن

با آموزش محور تقارن هشتم ریاضی روشی را یاد می گیریم که نیازی به خم شدن شکل روی محور نیست! اگر بخواهیم بدانیم خطی محور تقارن شکل است یا خیر، از هر نقطه از محیط شکل یک خط عمودی رسم کرده و به همین ترتیب ادامه دهید. اگر این نقطه در محیط شکل قرار گیرد، محور تقارن است و اگر در مرکز شکل قرار نگیرد، محور تقارن نیست.

مثال 3: کدام یک از خطوط نشان داده شده در شکل زیر، محور تقارن مثلث است؟

راه حل 3:

نقطه ای را به صورت (Large A) روی مثلث در نظر بگیرید. از این نقطه، یک خط عمود بر خط ( Large a ) رسم می کنیم، خط را تا اندازه ( Large A{H_1} ) ادامه می دهیم. ما نقطه پایان خط را ( Large A’ ) می نامیم، از آنجایی که این نقطه روی مثلث (داخل) نیست، خط ( Large a ) تقارن محور مثلث نیست.

در ادامه، از نقطه ( Wide A ) یک خط عمود بر خط ( Wide b ) رسم می کنیم و خط را به اندازه ( Wide A{H_2} ) ادامه می دهیم. ما آخرین نقطه خط را ( Large A” ) می نامیم، زیرا این نقطه روی مثلث قرار دارد، بنابراین خط ( Large b ) محور تقارن مثلث است.

خط تقارن در یک چندضلعی منتظم

یک چند ضلعی منتظم دارای محور تقارن برابر با تعداد اضلاع آن است. به عنوان مثال، تعداد محورهای تقارن در یک پنج ضلعی منتظم 5، یک مربع 4 و یک مثلث متساوی الاضلاع 3 است. در شکل زیر، به عنوان مثال، چند چند ضلعی منتظم را مشاهده می کنید:

نکته: دایره دارای یک محور تقارن بی نهایت است.

مرکز تقارن

اگر شکلی را به دور یک نقطه 180 درجه بچرخانیم و نتیجه چرخش با خودش منطبق باشد، می گوییم شکل مرکز تقارن دارد و نقطه مورد نظر مرکز تقارن شکل است. به عنوان مثال، اگر شکل سیاه زیر را به اندازه 180 درجه به دور نقطه ( Large O ) بچرخانیم، روی خودش قرار می گیرد، بنابراین این نقطه مرکز تقارن شکل خواهد بود.

راه تشخیص مرکز تقارن

برای اینکه بفهمیم یک شکل مرکز تقارن دارد یا خیر، نقطه ای را در وسط این شکل در نظر می گیریم. اگر از هر نقطه در شکل خطی به نقطه وسط بکشیم و به همان طول ادامه دهیم و انتهای خط در شکل باشد، آن نقطه مرکز تقارن شکل خواهد بود.

مثال 4: آیا اشکال زیر مرکز متقارن هستند؟

راه حل 4:

الف) نقطه مرکزی دایره را در نظر می گیریم، نقاطی مانند ( Wide A ) و ( Wide B ) را در شکل انتخاب می کنیم و آنها را به نقطه ( Wide O وصل می کنیم و در ادامه می دهیم به همین ترتیب از آنجایی که نقاط پایانی (یعنی ( Wide A’ ) و ( Wide B’ )) روی شکل هستند، پس ( Wide O ) مرکز تقارن شکل خواهد بود.

ب) نقطه ای در وسط مثلث را ( Large O ) در نظر می گیریم ، اگر از نقطه ( Large A ) به نقطه ( Large O ) وصل کنیم و به همان ترتیب ادامه دهیم. به این ترتیب، نقطه نهایی (یعنی ( Large A’ )) در شکل نیست، بنابراین مثلث مرکزی متقارن نیست.

ساختن شکل دارای مرکز تقارن

مثال 5: شکل زیر را کامل کنید تا نقطه (Large O) مرکز تقارن آن باشد.

راه حل 5:

با توجه به روشی که برای تشخیص مرکز تقارن توضیح دادیم، اگر نقطه (Large O) مرکز تقارن شکل باشد، می‌توانیم با اتصال هر نقطه به آن و ادامه به همان شکل به شکل برسیم.

بنابراین باید هر چهار راس این چهار ضلعی را به نقطه ( Large O ) وصل کرده و آن را به همان اندازه گسترش دهیم تا چهار نقطه جدید ایجاد کنیم. می توانیم از صفحه شطرنجی استفاده کنیم، برای مثال، فاصله بین نقطه بالا سمت راست و نقطه ( Large O ) یک واحد به سمت راست و دو واحد به سمت پایین است. بعد از نقطه (Large O) به همین ترتیب ادامه دادیم:

با اتصال این نقاط به یکدیگر یک مستطیل سبز رنگ رسم می شود. اکنون نقطه ( Large O ) مرکز تقارن است (شکل سیاه + شکل سبز).

مرکز تقارن در یک چند ضلعی منتظم

در اینجا این سوال مطرح می شود که مرکز تقارن کدام یک از چند ضلعی های منتظم است؟

چند ضلعی های منتظم اگر تعداد اضلاع زوج باشد مرکز تقارن دارند و اگر تعداد اضلاع فرد باشد مرکز تقارن ندارند. به عنوان مثال، یک هشت ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد، اما یک پنج ضلعی منتظم مرکز تقارن ندارد.

مثال 6: کدام یک از اشکال هندسی زیر دارای محور تقارن و مرکز تقارن است؟

الف) مثلث متساوی الاضلاع ب) هفت ضلعی منتظم ج) مربع د) هشت ضلعی منتظم

راه حل 6:

مثلث های متساوی الاضلاع مثلث های منظم و مربع ها چهار ضلعی منظم هستند. در قسمت های قبل دیدیم که چند ضلعی های منتظم به اندازه ضلع خود دارای خط تقارن هستند، بنابراین همه این اشکال دارای خطوط تقارن هستند.

گزینه های (الف) تا (د) به ترتیب دارای 3، 7، 4 و 9 ضلع هستند و از آنجایی که چندضلعی های منتظم با تعداد ضلع زوج مرکز تقارن دارند، پس فقط یک چهارضلعی منتظم (مربع) دارای مرکز تقارن است.

چند نقطه در محور تقارن اشکال هندسی

متوازی الاضلاع شکلی است که مرکز تقارن دارد اما محور تقارن ندارد

یکی از اشکال جالب در این درس متوازی الاضلاع است. متوازی الاضلاع چند خط تقارن دارد؟ با هم ببینیم ما چهار خط تقارن ممکن برای این شکل ترسیم کرده‌ایم: دو مورب موازی و دو خط عمودی و افقی که از مرکز عبور می‌کنند. از هشتمین روش ریاضی تشخیص خطوط تقارن در این شکل مشاهده می شود که هیچ یک از این خطوط خط تقارن نیستند.

متوازی الاضلاع دارای مرکز تقارن است، به شکل زیر توجه کنید. هر نقطه از شکل را به مرکز متصل کنید و به همین ترتیب ادامه دهید، روی شکل قرار می گیرد.

شکلی که بیش از دو محور تقارن دارد اما مرکز تقارن ندارد

قبلاً گفتیم که همه چند ضلعی های منتظم دارای یک محور تقارن هستند، اما فقط چند ضلعی های منتظم دارای مرکز تقارن هستند که دارای تعداد اضلاع زوج است. بنابراین، چند ضلعی های منتظم با تعداد اضلاع فرد، بیش از دو محور تقارن دارند، اما مرکز تقارن ندارند.

به خواندن کتابچه راهنمای خطوط موازی و موازی ادامه دهید.

زنگ آخر کلاس هشتم تقارن ریاضی

اول از همه، امیدوارم از خواندن این درس لذت برده باشید! قطعا بعد از خواندن این درس به جای اینکه یک شکل هندسی را با چشمان بسته تا کنید، می توانید تشخیص دهید که متقارن است یا خیر؟ در این مطلب با چند ضلعی ها و نوع خاصی از آنها به نام چندضلعی منظم آشنا شدیم. با روش های ساده توانستیم محور تقارن و مرکز تقارن اشکال هندسی را پیدا کنیم.

اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، سوال خود را در زیر در نظرات بنویسید. کارشناسان ریاضی به سوالات شما پاسخ خواهند داد.

به خوندن ادامه بده!عدد اول ریاضی هشتم 1️⃣👨‍🎓 – کامل‌ترین آموزشی که لازم داشتید.خطوط موازی و مورب #️⃣🚘 ؛ رانندگی خط‌ها در چهارراه زاویه!