چرا در مثلث متساوی الساقین دو زاویه مجاور قاعده برابرند

آخرین به روز رسانی: 3D 1401 زمان پخش: 4 دقیقه

در آموزش های قبلی مجله فرادرس با مثلث و روش های محاسبه محیط و مساحت آن آشنا شدیم. در این آموزش قصد داریم با نوع خاصی از مثلث به نام مثلث متساوی الساقین آشنا شویم.

فهرست مطالب این نوشته

مثلث متساوی الساقین چیست؟

همانطور که می دانیم مثلث یک شکل هندسی است که دارای سه ضلع و سه زاویه است و اهمیت آن در این است که اشکال با اضلاع بیشتر را می توان به مثلث تقسیم کرد. بنابراین شناخت مثلث و انواع آن مهم است.

مثلث متساوی الساقین همانطور که از نامش پیداست مثلثی است که حداقل دو ضلع برابر داشته باشد. شکل زیر یک مثلث متساوی الساقین را نشان می دهد که در آن دو ضلع AB و AC برابر هستند و تساوی آنها با یک خط قرمز کوچک روی خطوط نشان داده شده است.

به دو ضلع مساوی مثلث متساوی الساقین «پا» می گویند. ضلع سوم نیز «پایه» نامیده می شود. زاویه مقابل قاعده را «زاویه رأس» و زوایای مقابل ساقها «زاویه قاعده» و مساوی هستند.

در مثلث متساوی الساقین معمولاً با طول سه قسمت آن کار می کنیم که در شکل زیر مشخص شده است. پاها را $$l$$، پایه را $$b$$ و ارتفاع عمود بر پایه را از زاویه بالا $$h$$ نشان می‌دهیم.

توجه 1: ارتفاع قاعده را نصف می کند و همچنین نیمساز زاویه رأس است.

نکته 2: یک مثلث متساوی الساقین معمولاً دارای یک محور یا محور تقارن است که ارتفاع آن است (اگر سه زاویه آن با هم برابر باشد دارای سه محور تقارن است).

اگر دو تا از سه طول فوق را داشته باشیم، سومی را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست آورد.

قانون به صورت زیر بدست می آید:

$$ large h^2 + left (frac {b}{2} right )^2 = l ^2 Rightarrow left (frac {b}{2} right )^2 = l ^2 – h ^2 Rightarrow b = 2sqrt {l^2-h^2} $$

محاسبه پا به شرح زیر است:

$$ large h^2 + left (frac {b}{2} right )^2 = l ^2 Rightarrow l = sqrt {h ^ 2 + frac {b^2}{4} } $$

ارتفاع با استفاده از قضیه فیثاغورث به صورت زیر محاسبه می شود:

$$ large
begin{array}{c}
h ^ { 2 } + left ( frac { b } { 2 } right ) ^ { 2 } = l ^ { 2 } Right arrow h +^ { 2} frac { b ^ { 2 } } { 4 } = l ^ { 2 } Rightarrow h^{2}=a^{2}-frac{b^{2}}{4} \
Rightarrow h = sqrt { l ^ { 2 } – frac { b ^ { 2 } } { 4 } }
end {آرایه} $$

بنابراین برای بدست آوردن طول پایه، ساق و ارتفاع از فرمول های زیر استفاده می کنیم:

$$ large boxed { begin{array} { l }
b = 2 sqrt { l ^ { 2 } – h ^ { 2 } } \
l = sqrt { h ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 4 } } \
h = sqrt { l ^{ 2 } – frac { b ^ { 2 } } { 4 } }
end {آرایه} }$$

برای آشنایی بیشتر با هندسه و ریاضیات پیشنهاد می کنیم به مجموعه ویدیویی دروس فوق برنامه دبیرستان و پیش دانشگاهی که لینک آن در زیر آمده است مراجعه کنید.

محیط مثلث متساوی الساقین

برای بدست آوردن محیط مثلث متساوی الساقین کافی است سه ضلع آن را اضافه کنید.

مساحت مثلث متساوی الساقین

اگر اندازه پایه $$b$$ و ارتفاع $$h$$ یک مثلث متساوی الساقین را داشته باشیم، مساحت آن به سادگی از فرمول حاصلضرب نیمی از قاعده با ارتفاع بدست می آید:

$$ large boxed {A = frac 12 b h } $$

برای آشنایی بیشتر با روش های محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین به آموزش «مساحت مثلث متساوی الساقین» مراجعه کنید. محاسبه زبان ساده» به این لینک مراجعه کنید.

انواع مثلث متساوی الساقین

یک مثلث متساوی الساقین بسته به اندازه زاویه رأس آن می تواند انواع مختلفی داشته باشد. اگر زاویه راس مثلث متساوی الساقین کمتر از 90 درجه (حاد) باشد، یک مثلث متساوی الساقین به نام حاد است. اگر زاویه راس 90 درجه یا راست باشد، مثلث متساوی الساقین با قائم الزاویه داریم. به مثلث متساوی الساقین که زاویه رأس آن بیشتر از 90 درجه باشد منفرجه می گویند و در نهایت به مثلث متساوی الساقین که سه زاویه مساوی دارد مثلث متساوی الساقین یا 8585858 8585858 می گویند.

نمونه هایی از مثلث های متساوی الساقین

در این قسمت به نمونه هایی از مثلث های متساوی الساقین می پردازیم.

اولین مثال از مثلث متساوی الساقین

کدام یک از مثلث های زیر متساوی الساقین است؟

راه حل: از آنجایی که مثلث های 1، 3 و 4 حداقل دو ضلع مساوی دارند، متساوی الساقین هستند.

مثال دوم مثلث متساوی الساقین

در مثلث زیر، زوایای A و B برابر هستند. مقدار $$x$$ را بدست آورید.

راه حل: با توجه به مساوی بودن دو زاویه، مثلث متساوی الساقین است و بنابراین دو ضلع AC و BC برابر هستند. بنابراین، ما داریم:

$$ large AC = BC Rightarrow 3 x + 12 = 2 x + 17 \
large 3x-2x=17-12 Rightarrow x = 5 $$

مثال سوم مثلث متساوی الساقین

مساحت مثلث متساوی الساقین زیر را محاسبه کنید.

راه حل: مساحت مثلث برابر است با:

$$large A = frac 12 b h =frac 12times x times frac {2x}{3}=frac {x^2}{3}$$

از آنجایی که ارتفاع مثلث متساوی الساقین قاعده را نصف می کند، دو مثلث قائم الزاویه مساوی داریم و می توانیم از قضیه فیثاغورث برای به دست آوردن اندازه پایه ($x$$) استفاده کنیم:

$$ large 10 ^ 2 = left( frac x 2 right) ^2 + left( frac {2x} {3} right) ^2 Rightarrow 10 ^2 = frac {x^2} {4}+frac{4x^2}{9} \ large 100=frac {28x^2+16x^2}{28} Rightarrow x^2 =frac {700}{11}$$

مساحت مثلث نیز برابر است با:

$$large A =frac {x^2}{3}= frac {700}{3 times 11} تقریباً 21.21$$

ارائه فیلم آموزشی هندسه (هندسه 1) پایه دهم

برای آشنایی بیشتر با مباحث اشکال هندسی پیشنهاد می کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه 1) تهیه شده توسط فرادرس مراجعه کنید. این آموزش تصویری 4 ساعت و 3 دقیقه ای از چهار درس تشکیل شده است.

در درس اول این آموزش، مباحث ترسیمات هندسی و استدلال توضیح داده شده است. مباحث درس دوم به قضیه تالس و تشابه مثلث ها و کاربرد آنها اختصاص دارد. در درس سوم مباحث مربوط به چند ضلعی ها و ویژگی های آنها و همچنین مساحت و کاربرد آنها توضیح داده شده است. در نهایت موضوع درس چهارم تجسم فضایی است که شامل خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر بصری می باشد.

مقاله ای که در بالا خواندید بخشی از مجموعه “محاسبه محیط و مساحت مثلث – انواع مثلث ها و همه فرمول ها” است. در ادامه می توانید لیست این مطالب را مشاهده کنید:

منابع:

مجله فرادرس

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

آخرین به‌روزرسانی:
۳ دی ۱۴۰۱

زمان مطالعه:
۱۴ دقیقه

پایه ضلعی است که برای تعیین مساحت مثلث استفاده می شود. تعریف قاعده مثلث و روش های محاسبه آن به نوع مثلث (مستطیل، متساوی الاضلاع، متساوی الساقین یا با ضلع های مختلف) بستگی دارد. در این مقاله به معرفی خط کش در انواع مثلث ها و نحوه محاسبه آن با استفاده از روابط ارتفاع، مساحت، محیط و مثلثات می پردازیم.

فهرست مطالب این نوشته

مثلث چیست؟

مثلث یکی از اشکال هندسی اساسی و یکی از پرکاربردترین انواع چند ضلعی است. مثلث ها از سه ضلع تشکیل شده اند. تصویر زیر نمونه ای از مثلث متساوی الاضلاع را نشان می دهد.

مثلث، شکلی با سه ضلع است.

اجزای یک مثلث چیست؟

هر مثلث از اجزای مختلفی مانند راس، ضلع، زاویه داخلی، زاویه بیرونی و ارتفاع تشکیل شده است:

Ras: محل برخورد دو ضلع مثلث

مورب : پاره خط بین دو راس

زاویه داخلی : زاویه بین دو ضلع مجاور

زاویه خارجی : زاویه تشکیل شده توسط ضلع با امتداد ضلع مجاور (زاویه اضافی)

ارتفاع : پاره خط عمود بر ضلع (فاصله عمودی از هر رأس تا طرف مقابل)

مثلث ها دارای سه ضلع، سه رأس، سه زاویه داخلی، سه زاویه بیرونی و سه ارتفاع هستند. ضلع و ارتفاع معمولاً برای محاسبه مساحت یک مثلث استفاده می شود. علاوه بر این، زوایای داخلی نیز به طور گسترده ای برای تعیین مساحت و اندازه اضلاع استفاده می شود.

قانون در مثلث چیست؟

پایه یکی از اجزای اشکال هندسی دو بعدی است که در اندازه گیری و محاسبات این اشکال استفاده می شود. قاعده یک مثلث ضلعی است که برای محاسبه مساحت استفاده می شود. تصویر زیر قاعده های یک مثلث متساوی الاضلاع متفاوت با حروف فارسی A، B و P را نشان می دهد.

قاعده‌های مثلث

رابطه بین مساحت، ارتفاع و قاعده مثلث به صورت زیر نوشته می شود:

2 ÷ (قانون $$times$$ ارتفاع) = مساحت مثلث

فرمول ریاضی مساحت مثلث:

$
A = (h بار b) ÷ 2
$$

A: منطقه

h: ارتفاع

b: پایه به عنوان ارتفاع

بر اساس فرمول فوق، سه ضلع مثلث را می توان به عنوان پایه در نظر گرفت. البته برای محاسبه مساحت باید مانند این خط کش از ارتفاع استفاده کرد. به همین ترتیب اگر مساحت و ارتفاع مشخص باشد، می توان قاعده مشابه را تعیین کرد.

قانون مثلث چیست؟

ضلعی که یکی از ارتفاعات مثلث بر روی آن عمود باشد، قاعده این ارتفاع نامیده می شود. هر مثلث دارای سه جفت ارتفاع و پایه است. اصطلاح “مانند” برای اشاره به هر یک از این جفت ها استفاده می شود. به عنوان مثال در تصویر زیر اضلاع و خطوط یک رنگ، پایه و ارتفاع یکسان هستند.

هر رنگ، معرف ارتفاع و قاعده نظیر مثلث برای محاسبه مساحت است.

نحوه تعیین قانون مشابه به نوع مثلث و اندازه های شناخته شده آن بستگی دارد. در ادامه روش های کلی و اختصاصی محاسبه انواع مثلث ها را ارائه خواهیم داد.

چگونه پایه یک مثلث با اضلاع مختلف را بدست آوریم؟

مثلث متساوی الساقین مثلثی با سه ضلع متفاوت است. قاعده این مثلث با استفاده از فرمول مساحت عمومی به دست می آید. با توجه به فرمول مساحت مثلث بر اساس ارتفاع و پایه مشابه، داریم:

$
A = (h بار b) ÷ 2
$$

اگر فرمول فوق را بر حسب قاعده (ب) بازنویسی کنیم، فرمول قاعده را بر اساس مساحت و ارتفاع بدست می آوریم:

$
b = frac {2A} {h}
$$

به این ترتیب اگر مساحت و هر یک از ارتفاعات مثلث مشخص باشد، می توان به طور مستقیم پایه این ارتفاع را با فرمول بالا تعیین کرد.

مثال اول: محاسبه قاعده مثلث با ارتفاع و مساحت

مثلثی به مساحت 7 سانتی متر مربع و ارتفاع 4 سانتی متر در نظر بگیرید. یکی از پایه های این مثلث را حساب کنید.

با توجه به اندازه مشخص مساحت و یکی از ارتفاعات مثلث، با استفاده از رابطه زیر می توانیم قاعده آن ارتفاع شناخته شده را بدست آوریم:

$
b = frac {2A} {h}
$$

b: خط کش به عنوان زمین شناخته شده

A: مساحت مثلث برابر با 7 سانتی متر مربع است.

h: ارتفاع پایه برابر با 4 سانتی متر است.

اندازه های شناخته شده را در فرمول بالا قرار می دهیم:

$
b = frac {2 times 7} {4}
$$

$
b = frac {7} {2}
$$

$
b = 3.5
$$

پایه برابر با 4 سانتی متر ارتفاع مثلث، برابر با 3.5 سانتی متر است. برای اطمینان از درست بودن نتیجه، این دو عدد را در هم ضرب کرده و بر دو تقسیم کنید تا مساحت مثلث به دست آید.

پایه در مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم الزاویه مثلثی با زاویه 90 درجه است. اضلاع تشکیل دهنده زاویه قائمه را “پا” و ضلع سوم را “آکورد” می نامند. به دلیل عمودی بودن پاها، این دو ضلع، پایه و ارتفاع با هم برابر هستند.

وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه

مثلث های قائم الزاویه از قضیه فیثاغورث پیروی می کنند. بر اساس این قضیه رابطه زیر بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه وجود دارد:

$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

c: وتر یک مثلث قائم الزاویه

a: یکی از پایه های مثلث

b: ساق دیگر مثلث

به این ترتیب اگر دو قاعده مثلث قائم الزاویه مشخص باشد، با استفاده از فرمول فوق پایه سوم به دست می آید.

مثال دوم: محاسبه سه قاعده یک مثلث قائم الزاویه با یک ضلع و یک مساحت

اندازه سه پایه را در مثلث قائم الزاویه زیر محاسبه کنید.

مثلث قائم الزاویه با مساحت 6 و ساق 4

در مثلث قائم الزاویه بالا، اندازه یکی از پاها و مساحت آورده شده است. از آنجایی که پاها، ارتفاع و قاعده این مثلث یکسان است، فرمول کلی مساحت را با توجه به اندازه پاها می نویسیم:

$
A = frac {btimes h} {2}
$$

A: مساحت مثلث برابر با 6 است.

h: قد برابر با 3 (اندازه یکی از پاها)

b: پایه برابر با ارتفاع پای دیگر است.

فرمول کلی خط کش را می نویسیم و اندازه های شناخته شده را در آن قرار می دهیم:

$
b = frac {2A} {h}
$$

$
b = frac {2 times 6} { 3 }
$$

$
b = frac {12} { 3 }
$$

$
b = 4
$$

بر این اساس اندازه پایه دیگر مثلث (پایه دیگر) برابر با 4 است. اکنون اندازه های دو پایه مثلث قائم الزاویه را داریم. به این ترتیب، اندازه پایه سوم (وتر) را با قضیه فیثاغورث به دست می آوریم:

$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

c: وتر یک مثلث قائم الزاویه

a: اندازه یکی از پاها برابر با 3 است.

b: اندازه پای دیگر 4 است

$
c^ { 2 } = 3^ { 2 } + 4^ {2}
$$

$
c = sqrt {3^ {2} + 4^ {2} }
$$

$
c = sqrt { 9 + 16 }
$$

$
c = sqrt { 25 }
$$

$
c = 5
$$

بر این اساس اندازه پایه یا وتر سوم مثلث برابر با 5 است.

پایه در مثلث متساوی الساقین

تعریف قاعده در مثلث متساوی الساقین با سایر انواع مثلث کمی متفاوت است. مثلث متساوی الساقین دارای دو ضلع و دو زاویه مساوی است. به اضلاع مساوی این مثلث «پا» می گویند. ضلع سوم “حاکم” نامیده می شود. به همین دلیل، ارتفاع مثلث متساوی الساقین معمولاً به اندازه ارتفاع قاعده (ضلع سوم) است.

قاعده‌، ارتفاع و ساق‌های مثلث متساوی الساقین

اگر ارتفاع رسم شود، مثلث متساوی الساقین به دو مثلث قائم الزاویه تبدیل می شود. وتر این دو مثلث برابر با ساق مثلث متساوی الساقین و ساق پایین آنها برابر با نیمی از قاعده مثلث متساوی الساقین است. اگر قضیه فیثاغورث را برای یکی از مثلث های قائم الزاویه بنویسیم و رابطه حاصل را طبق قانون بازنویسی کنیم، فرمول زیر به دست می آید:

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$
b = 2 sqrt{a^{2}-h^{2}}
$$

b: قاعده مثلث متساوی الساقین

a: ساق مثلث متساوی الساقین

h: ارتفاع مثلث متساوی الساقین

فرمول فوق برای محاسبه مستقیم قاعده یک مثلث متساوی الساقین بر اساس ارتفاع و ارتفاع ساق استفاده می شود.

قاعده یک مثلث متساوی الساقین راست

یکی از موارد خاص مثلث متساوی الساقین وجود زاویه 90 درجه بین دو پایه است. در این صورت فقط با دانستن اندازه یکی از اضلاع یا مساحت می توانید اندازه همه پایه ها را بدست آورید.

مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه

در مثلث بالا، رابطه بین پایه (a) و طناب (c) به صورت زیر است:

$
c = a sqrt {2}
$$

یا

$
a = frac { sqrt {2} } {2} c
$$

در مثلث متساوی الساقین راست، رابطه بین اندازه ساق و ناحیه (A) به صورت زیر نوشته می شود:

$
a = sqrt {2 A}
$$

محاسبه اندازه وتر با استفاده از مساحت نیز با رابطه زیر انجام می شود:

$75757599888c = 2 sqrt { A }
$$

مثال سوم: محاسبه قاعده مثلث متساوی الساقین با ساق و ارتفاع

قاعده مثلث متساوی الساقین با پاهای 13 سانتی متر و ارتفاع 12 سانتی متر را محاسبه کنید.

با توجه به فرمول قاعده مثلث های متساوی الساقین از نظر ساق و ارتفاع داریم:

$
b = 2 sqrt{a^{2}-h^{2}}
$$

b: خط کش

a: دور پا برابر با 13 سانتی متر

h: ارتفاع کمر برابر با 12 سانتی متر

$
b = 2 sqrt{13^{2}-12^{2}}
$$

$
b = 2 sqrt{169-144}
$$

$
b = 2 sqrt{25}
$$

$
b = 2 بار 5
$$

$
b = 10
$$

اندازه پایه (ضلع سوم) مثلث برابر با 10 سانتی متر است.

پایه در مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی با سه ضلع مساوی است. اندازه مساوی اضلاع باعث می شود که بتوان پایه های این مثلث را با استفاده از مساحت یا ارتفاع محاسبه کرد.

قاعده‌های مثلث متساوی الاضلاع

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع به صورت زیر نوشته می شود:

$
A=frac{sqrt{3}}{4}a^{2}
$$

A: مساحت مثلث

a: اندازه ضلع مثلث

بنابراین، اگر مساحت مشخص باشد، اندازه قاعده مثلث متساوی الاضلاع را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

$
a = 2 sqrt { frac { A } { 3 } }
$$

علاوه بر این، رابطه بین ارتفاع و ضلع مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع است:

$
h=frac{sqrt{3}}{2} times a
$$

h: اندازه ارتفاع مثلث

a: اندازه ضلع مثلث

با بازنویسی رابطه فوق بر حسب ضلع (الف) می توان قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع را بر حسب ارتفاع تعیین کرد:

$
a = frac {2 sqrt { 3 } } {3} times h
$$

پایه مثلث زاویه باز

یک مثلث منفرد زاویه ای بیشتر از 90 درجه دارد. به همین دلیل دو ارتفاع این مثلث خارج از محدوده اضلاع است. از تصویر زیر ترسیم دو ارتفاع بیرونی در یک مثلث منفرد در امتداد اضلاع متصل به زاویه باز انجام شده است.

قاعده‌ها و ارتفاع‌های نظیر در یک مثلث با زاویه باز

توجه داشته باشید که اندازه بخش توسعه یافته تأثیری در محاسبه مساحت مثلث ندارد. به عبارت دیگر، همچنین در این مورد اندازه ی کناری با اندازه پایه یکسان است.

محاسبه قاعده مثلث با قانون سینوس ها

یکی از راه های دیگر برای محاسبه قاعده انواع مثلث ها استفاده از زاویه رئوس و روابط مثلثاتی به ویژه قانون سینوس ها است. برای اینکه با این روش آشنا شوید مثلث زیر را در نظر بگیرید.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

مثلثی با سه زاویه و ضلع مشخص

رابطه زیر بین اندازه اضلاع و زوایای مثلث بالا وجود دارد:

$
frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}
$$

a: طول ضلع قبل از میلاد

b: طول سمت AC

c: طول ضلع AB

A: زاویه راس A

B: زاویه راس B

C: زاویه راس C

رابطه فوق قانون سینوس نامیده می شود. به این ترتیب اگر اندازه زوایای مثلث و یکی از پایه های آن مشخص باشد، با استفاده از این قانون می توان اندازه دو پایه دیگر را به دست آورد.

قاعده مثلث را با مساحت و سینوس محاسبه کنید

در مثلث هایی که دو ضلع و زاویه مشخص دارند، معمولاً از فرمول زیر برای محاسبه مساحت استفاده می شود:

$
Area=frac{1}{2} a cdot b cdot sin C
$$

$
Area=frac{1}{2} a cdot c cdot sin B
$$

$
Area=frac{1}{2} b cdot c cdot sin A
$$

فرمول های فوق فرمول مساحت مثلثی با سینوس نامیده می شوند. از این فرمول ها می توان با قانون سینوس ها برای محاسبه اندازه قاعده های مثلث نیز استفاده کرد. به عنوان مثال، اگر مساحت مثلث، قاعده b و زاویه C مشخص باشد، قاعده a از فرمول زیر به دست می آید:

$
a=2 times frac{Area}{b sin C}
$$

a: قانون ناشناخته

Area: مساحت مثلث

b: قانون شناخته شده

C: زاویه بین پایه معلوم و مجهول

مثال 4: محاسبه قاعده مثلث با دو زاویه و یک ضلع

در مثلث زیر اندازه دو زاویه و ضلع بین آنها مشخص شده است. اندازه پایه های این مثلث را تعیین کنید. (سینوس زاویه 45 درجه را 0.71، سینوس زاویه 60 درجه را 0.87 و سینوس زاویه 75 درجه را 0.97 در نظر بگیرید.)

مثلثی با زاویه75، زاویه 60 و ضلع بین 10

برای شروع حل مسئله، ابتدا قانون سینوس ها را می نویسیم و مقادیر شناخته شده را در آن قرار می دهیم:

$
frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}
$$

a: طول پایه BC برابر است با 10

b: طول پایه AC

c: طول پایه AB

A: زاویه راس A

B: زاویه راس B 60 درجه است

C: زاویه راس C 75 درجه است

$
frac{10}{sin A}=frac{b}{sin 60°}=frac{c}{sin 75°}
$$

همانطور که می بینید، اطلاعات ما برای استفاده از قانون سینوس ها کافی نیست. برای ادامه محاسبات به اندازه حداقل یک زاویه یا حداقل یک خط کش دیگر نیاز داریم. بر اساس اصل مجموع زوایای داخلی، مجموع زوایای داخلی مثلث ها باید برابر با 180 درجه باشد. بنابراین، ما داریم:

$
180$ = A + B + C
$$

$
180$ = A + 60° + 75°
$$

$
180$ = A + 135°
$$

$
180° – 135° = A
$$

$
45° = A
$$

زاویه سوم را به قانون سینوسی اضافه می کنیم:

$
frac{10}{sin 45°}=frac{b}{sin 60°}=frac{c}{sin 75°}
$$

اکنون می توانیم اندازه را از دو خط کش دیگر بدست آوریم:

$
frac{10}{0.71}=frac{b}{0.87}=frac{c}{0.97}
$$

اندازه پایه AC یا b برابر است با:

$
frac{10}{0.71}=frac{b}{0.87}
$$

$
frac{10times 0.87}{0.71}=b
$$

$
12.25$=b
$$

اندازه پایه AB یا c نیز به صورت زیر محاسبه می شود:

$
frac{10}{0.71}=frac{c}{0.97}
$$

$
frac{10times 0.97}{0.71} = c
$$

13.66 دلار = c
دلار

اندازه پایه AB برابر با 13.66، پایه AC برابر با 12.25 و پایه BC برابر با 10 است.

قاعده مثلث را با محیط محاسبه کنید

محیط یک مثلث مجموع اضلاع آن است. به همین دلیل اگر محیط و اندازه دو خط کش مشخص باشد، می توان خط کش سوم را تعیین کرد. البته در برخی مثلث ها (مستطیل، متساوی الساقین، متساوی الساقین) اندازه های مورد نیاز برای تعیین قاعده مجهول کوچکتر است. فرمول کلی برای محاسبه قاعده یک مثلث با محیط آن به صورت زیر است:

$
a = P – b – c
$$

$
b = P – a – c
$$

$
c = P – a – b
$$

P: محیط مثلث

a: اندازه اولین خط کش

b: اندازه خط کش دوم

c: اندازه خط کش سوم

قاعده مثلث متساوی الساقین با محیط و ارتفاع

در مثلث های متساوی الساقین، اگر محیط و ارتفاع مانند قاعده مشخص باشد، می توان اندازه پاها را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

$
a=frac{P}{4}+frac{h_{b}^{2}}{P}
$$

a: اندازه پا

P: محیط مثلث

hb: همان ارتفاع پایه

اگر محیط و اندازه پایه مشخص باشد، برای محاسبه دو پایه دیگر از فرمول زیر استفاده می شود:

$
a=frac{P}{2}-frac{b}{2}
$$

a: اندازه پاها

P: محیط مثلث

b: خط کش

قاعده مثلث قائم الزاویه با محیط و ساق

اگر محیط و اندازه یکی از پایه های مثلث قائم الزاویه مشخص باشد، اندازه پایه دوم با فرمول زیر به دست می آید:

$
a=P times frac{P-2 b}{2(P-b)}
$$

a: اندازه یکی از پاها

P: محیط مثلث

b: سایز پا دیگر

در تعیین اندازه پای دوم، اندازه وتر (قانون سوم) را نیز می توان با قضیه فیثاغورث محاسبه کرد. اگر به جای محیط و ساق، محیط و وتر مشخص باشد، فرمول محاسبه دو قانون دیگر پیچیده می شود. در قسمت جدول فرمول قاعده مثلث به این فرمول ها اشاره می کنیم.

قاعده مثلث متساوی الاضلاع برابر با محیط است

اگر محیط مثلث متساوی الاضلاع مشخص باشد، اندازه قاعده های آن با تقسیم محیط بر سه مشخص می شود:

$
a = frac { P } { 3 }
$$

a: اندازه خط کش

P: محیط مثلث

مثال 5: محاسبه قاعده مثلث با محیط و ارتفاع

اگر محیط مثلث زیر 30 سانتی متر است، اندازه سه پایه این مثلث را پیدا کنید.

مثلثی با محیط 30 و ارتفاع‌های 9، 9 و 7

از آنجایی که دو ارتفاع مثلث فوق برابر است، این مثلث متساوی الساقین است. بر این اساس، اندازه پایه های این مثلث از رابطه زیر به دست می آید:

$
a=frac{P}{4}+frac{h_{b}^{2}}{P}
$$

a: اندازه پا

P: محیط مثلث برابر با 30 سانتی متر است.

hb: ارتفاع پایه برابر با 7 سانتی متر است.

$
a=frac{30}{4}+frac{7^{2}}{30}
$$

$
a=frac{30}{4}+frac{49}{30}
$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$75757599888a=7.5+1.63
$$

$75757599888a=9.13
$$

به این ترتیب اندازه دو پایه مثلث برابر با 13.9 سانتی متر است. اندازه خط کش سوم از رابطه کلی زیر بدست می آید:

$
c = P – a – b
$$

P: محیط مثلث برابر با 30 سانتی متر است.

a: اندازه پایه اول برابر با 13.9 سانتی متر است.

b: اندازه پایه دوم برابر با 13.9 سانتی متر است.

c: اندازه خط کش سوم

$75757599888c = 30 – 9.13 – 9.13
$$

$
c = 11.74
$$

بر این اساس اندازه پایه سوم مثلث 74.11 سانتی متر خواهد بود.

جدول فرمول پایه مثلثی

جدول زیر برخی از فرمول های مورد استفاده برای تعیین قاعده یک مثلث را بر اساس نوع مثلث و اندازه های شناخته شده نشان می دهد.

نوع مثلث
اندازه‌های معلوم
فرمول محاسبه قاعده مثلث

تمام مثلث‌ها
مساحت (A) و ارتفاع (h)
$$
b = frac {2A} {h}
$$

تمام مثلث‌ها
سه زاویه (B ،A و C) و یک ضلع (b ،a یا c)
$$
frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}
$$

تمام مثلث‌ها
محیط (P) و اندازه دو ضلع (a و b)
$$
a = P – b – c
$$

مثلث قائم الزاویه
 
 
اندازه دو ضلع (ساق a، ساق b و یا وتر c)
$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

محیط (P) و ساق (b)
$$
a=P times frac{P-2 b}{2(P-b)}
$$

محیط (P) و وتر (c)
$$
a=frac{1}{2} sqrt{2 P sqrt{-P^{2}+2 P c+c^{2}}+2 c^{2}-2 c sqrt{-P^{2}+2 P c+c^{2}}}
$$$$
b=frac{1}{2} sqrt{2 c^{2}-2 P sqrt{-P^{2}+2 P c+c^{2}}+2 c sqrt{-P^{2}+2 P c+c^{2}}}
$$

مثلث متساوی الساقین


اندازه یکی از ساق‌ها (a) و ارتفاع نظیر قاعده (hb)
$$
b = 2 sqrt{a^{2}-h^{2}}
$$

محیط (P) و ارتفاع نظیر قاعده (hb)
$$
a=frac{P}{4}+frac{h_{b}^{2}}{P}
$$

محیط (P) و قاعده (b)
$$
a=frac{P}{2}-frac{b}{2}
$$

مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه
ساق (a) یا وتر (c)

$
c = a sqrt {2}
$$

$
a = frac { sqrt {2} } {2} c
$$

مساحت (A)

$
a = sqrt {2 A}
$$

$75757599888c = 2 sqrt { A }
$$

مثلث متساوی الاضلاع
مساحت (A)

$
a = 2 sqrt { frac { A } { 3 } }
$$

ارتفاع (h)

$
a = frac {2 sqrt { 3 } } {3} times h
$$

محیط (P)

$
a = frac { P } { 3 }
$$

محاسبه آنلاین پایه مثلث

یکی از راه های اندازه گیری پایه انواع مثلث ها استفاده از ابزارها و سایت های تخصصی اینترنتی است. موتور جستجوی Google (+)، وب سایت Omni Calculator (+) و Calculator.net (+)، از شناخته شده ترین و مفیدترین ابزارهای آنلاین برای محاسبه قاعده مثلث هستند. تصویر زیر ابزار موتور جستجوی گوگل برای محاسبه ابعاد مختلف مثلث مانند مساحت، محیط، قاعده، ارتفاع و … را نشان می دهد.

محاسبه آنلاین قاعده مثلث در گوگل

برای دسترسی به ماشین حساب مثلث در موتور جستجوی گوگل، عباراتی مانند “مساحت مثلث” یا “محیط مثلث” را در قسمت جستجو تایپ کرده و کلید enter را فشار دهید. با این کار کادری مشابه تصویر بالا در بالای صفحه نتایج ظاهر می شود. با کلیک بر روی فلش رو به پایین در بخش “حل برای”، می توانید اندازه مورد نظر خود را برای محاسبه انتخاب کنید.

اندازه‌های قابل محاسبه مثلث در ماشین حساب گوگل

اعداد نمایش داده شده در تصویر بالا گزینه های مرتبط با مثلث قائمه هستند:

حل برای : اندازه قابل محاسبه در این قسمت نمایش داده می شود. در این مثال، ماشین حساب گوگل برای محاسبه مساحت مثلث روی گزینه “مساحت” قرار دارد.

base: پایه

ارتفاع: ارتفاع مانند پهلو یا پایه ب

side (a): طرف یا پایه a

side (c): سمت یا پایه ج

gamma: اندازه زاویه بین پایه a و b

perimeter: محیط

اندازه های بالای خط (پایه و ارتفاع در تصویر بالا) اندازه هایی هستند که برای محاسبه مساحت استفاده می شوند. با انتخاب یکی از گزینه های بالا یا زیر خط، کادرهای ورودی فرمول و اعداد در ماشین حساب گوگل برای محاسبه اندازه مورد نظر تغییر می کند. به عنوان مثال اگر روی گزینه “base” کلیک کنیم، کادر محاسباتی مطابق شکل زیر نمایش داده می شود.

ابزار محاسبه قاعده مثلثی با مساحت ۷ و ارتفاع 4 در گوگل

به منظور بررسی عملکرد این ابزار، مساحت و ارتفاع نمونه اول مقاله (مساحت 7 سانتی متر و ارتفاع 4 سانتی متر) را وارد می کنیم.

ابزار محاسبه قاعده مثلثی با مساحت ۷ و ارتفاع 4 در گوگل

به این ترتیب اندازه قاعده مثلث و فرآیند محاسبه آن نمایش داده می شود.

[]نمونه‌ای از خروجی محاسبه قاعده مثلثی با مساحت ۷ و ارتفاع 4 در گوگل

اگر می خواهید پایه را با سینوس محاسبه کنید، یکی از گزینه های طرف (الف) یا طرف (ب) را انتخاب کنید. با کلیک بر روی گزینه “perimeter” و انتخاب قاعده مورد نظر، می توان قاعده را با توجه به محیط محاسبه کرد. گوگل ابزارهای مختلفی برای انجام محاسبات مثلثی دارد. با جستجوی عبارت های زیر می توانید به این ابزار دسترسی داشته باشید:

مثلث متساوی الساقین: محاسبه محیط، مساحت، قاعده و ارتفاع مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الاضلاع: محاسبه محیط، مساحت و قاعده مثلث متساوی الاضلاع

مثلث مستطیلی: محاسبه محیط، مساحت، ساق و وتر مثلث قائم الزاویه

محاسبه قاعده مثلث‌های متساوی الساقین توسط گوگل

سوالات متداول در مورد قانون مثلث

در این بخش به چند سوال متداول در مورد قوانین انواع مثلث و نحوه یافتن آنها پاسخ می دهیم.

تعریف قاعده مثلث چیست؟

ضلعی که برای محاسبه مساحت مثلث استفاده می شود، قاعده مثلث نامیده می شود. در برخی موارد، ضلع پایین مثلثی که ارتفاع آن بر آن عمود است، قاعده مثلث نامیده می شود.

کاربرد قاعده در محاسبات مثلث چیست؟

با قرار دادن اندازه پایه در فرمول تقسیم پایه ضربات ارتفاع بر دو می توان مساحت مثلث را به دست آورد.

خواص قاعده های مثلث چیست؟

مجموع اندازه دو قانون از اندازه قانون سوم بیشتر است. همچنین اندازه پایه رو به بزرگترین زاویه مثلث بیشترین اندازه را در بین پایه های مثلث دارد.

چگونه پایه مثلث را پیدا کنیم؟

شما می توانید پایه یک مثلث را با استفاده از فرمول های مساحت مثلث، روابط مثلثاتی (مانند قانون سینوسی)، قضیه فیثاغورث و فرمول های محیطی پیدا کنید.

قاعده مثلث قائم الزاویه کجاست؟

پایه های یک مثلث قائم الزاویه دو پایه این نوع مثلث هستند. وتر (سمت مقابل زاویه 90 درجه) قانون سوم در نظر گرفته می شود.

قاعده مثلث متساوی الساقین کجاست؟

در مثلث های متساوی الساقین، ضلع بین زوایای مساوی قاعده مثلث است.

مقاله ای که در بالا خواندید بخشی از مجموعه “محاسبه محیط و مساحت مثلث – انواع مثلث ها و همه فرمول ها” است. در ادامه می توانید لیست این مطالب را مشاهده کنید:

منابع:

مجله فرادرس

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

مثلث متساوی الساقین را در مقاله انواع مثلث معرفی کردیم.

حال در این مقاله با ویژگی های بیشتر این مثلث آشنا می شویم و نحوه محاسبه محیط و مساحت آن را با استفاده از مثال های کاربردی یاد می گیریم.

پس از تکمیل این مقاله، باید با Isosceles آشنا شوید و به راحتی می توانید مسائل مربوط به آن را عیب یابی کنید.

با رایاد تا پایان مطلب جالب همراه باشید.

ویژگی های مثلث متساوی الساقین

به طور کلی این مثلث مثلثی است که دو ضلع آن مساوی است و ضلع دیگر مثلث که با این دو ضلع برابری ندارد قاعده مثلث نامیده می شود.

همچنین اندازه زوایای مثلث متساوی الساقین مجاور ساقهای مساوی با یکدیگر برابر است. با این تفاسیر در این مثلث دو زاویه مساوی و یک زاویه با اندازه های متفاوت داریم.

سایر ویژگی های مهم این مثلث عبارتند از:

در متساوی الساقین، نیمساز، عمود و ارتفاع رسم شده از راس بالایی مثلث بر هم منطبق هستند.

نیمساز خارجی راس مثلثهای متساوی الساقین با قاعده موازی و با زوایای مجاور ساقهای مساوی برابر است.

شکل مثلث متساوی الساقین

متساوی الساقین می تواند انواع مختلفی داشته باشد. در واقع هر مثلثی تا زمانی که دو ضلع مساوی داشته باشد متساوی الساقین است.

بنابراین می توان گفت که مثلث متساوی الاضلاع یا حتی مثلث قائم الزاویه نیز از نوع متساوی الساقین است. در ادامه فرمول ها و روش های محاسبه محیط و مساحت مثلث متساوی الساقین را بررسی خواهیم کرد.

محیط مثلث متساوی الساقین

محیط یک مثلث متساوی الساقین مانند همه مثلث های دیگر از مجموع 3 ضلع آن به دست می آید.

در این اشکال هندسی معمولاً اندازه یکی از پایه های مساوی با قاعده مثلث داده می شود و از آنجایی که اندازه هر دو پایه این مثلث برابر است، می توان اندازه 3 ضلع را با هم جمع کرد و محیط را به هم اضافه کرد. از فرم را می توان به دست آورد.

فرمول محیط متساوی الساقین = مجموع 3 ضلع

این رابطه در زبان نمادهای ریاضی به صورت زیر خواهد بود:

P = a + b + c

در این رابطه P محیط مثلث و a، b و c به ترتیب اضلاع مثلث هستند.

مثال

محیط مثلث های متساوی الساقین زیر را بیابید.

برای محاسبه محیط مثلث متساوی الساقین بالا، اندازه 3 ضلع را با هم جمع کنید. در مثلث نارنجی از رابطه فیثاغورث برای یافتن اندازه ضلع سوم یا وتر مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

اگر تدریس ریاضی پایه و صحیح باشد، ریاضی را به یکی از دروس مورد علاقه دانش آموزان تبدیل می کند. استفاده صحیح از وسایل کمک آموزشی، سفر آموزش و یادگیری ریاضیات را بسیار روان می کند. برخی از موثرترین ابزارهای آموزشی برای یادگیری مباحث ریاضی شامل فیلم های آموزشی دانش و اندیشه می باشد.

این مجموعه با استفاده از جدیدترین متدهای آموزشی، محیطی جذاب را برای یادگیری دانش آموزان فراهم کرد.

مساحت مثلث متساوی الساقین

مساحت مثلث متساوی الساقین را می توان با ضرب قاعده در ارتفاع مثلث و تقسیم آن بر 2 بدست آورد. به عبارت دیگر فرمول مساحت این مثلث برابر است با:

مساحت متساوی الساقین = (پایه × ارتفاع) ÷ 2

این فرمول بر اساس نمادهای ریاضی به شرح زیر است:

S = (b × h) / 2

در این رابطه S مساحت مستطیل و b و h به ترتیب پایه و ارتفاع مثلث هستند. ضمناً چون گفتیم در متساوی الساقین، ارتفاع و عمود برابرند، به همین دلیل با دانستن ارتفاع مثلث می توان مقدار قاعده آن را به دست آورد. به مثال زیر توجه کنید:

مثال:

مساحت مثلث های متساوی الساقین زیر را بیابید.

با توضیحات بالا می دانیم که ارتفاع یک متساوی الساقین قاعده آن را نصف می کند.

بنابراین، در مثلث نارنجی می‌توان با استفاده از قضیه فیثاغورث در مثلث قائم‌الطبیعی، اندازه نصف قاعده را بدست آورد، آن را دو برابر کرد و در نهایت از اندازه آن برای محاسبه مساحت مثلث استفاده کرد.

در مورد مثلث آبی با استفاده از همین رابطه می توانیم ارتفاع را بدست آوریم و سپس آن را در فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قرار دهیم.

پس پاسخ سوال این خواهد بود:

مثال:

فرض کنید می خواهیم سقف شیروانی ساختمانی به ابعاد 5، 5 و 6 متر و با استفاده از سقف چوبی بسازیم. برای این کار به چه پوشش چوبی نیاز خواهیم داشت؟

برای محاسبه اندازه پوشش مورد نیاز، باید مساحت قسمت جلویی این سقف را که به صورت مثلث متساوی الساقین ساخته شده است، محاسبه کرد.

همانطور که در مثال قبل توضیح دادیم، می توانیم از معادله فیثاغورث برای محاسبه قاعده مثلث و به دست آوردن اندازه آن استفاده کنیم.

در مرحله بعد ارتفاع و اندازه پایه مثلث را نسبت به مساحت قرار داده و مقدار آن را بدست می آوریم.

بنابراین خواهیم داشت:

در این مقاله نحوه محاسبه مساحت و محیط مثلث متساوی الساقین را توضیح دادیم و نحوه بدست آوردن اندازه قاعده را با استفاده از ارتفاع و پایه های مثلث و بالعکس مشاهده کردیم.

اگر شما هم مثال کاربردی مرتبط با این موضوع دارید، لطفا با ما و سایر کاربران به اشتراک بگذارید.